清史稿·卷五百七 列传二百九十四(2)

　　与郡人巴树穀最友善，客江、淮间，又与焦孝廉循、江上舍藩、李秀才锐，辩论宋秦九韶、元李冶立天元一及正、负开方诸法。天性敏绝，极能攻坚，不肯苟於著述。凡所言，皆人所未言，与夫人所不能言。

　　尝以古书八线之制，终於三分取一，用益实归除法求之，其一表之真数，仅得十之二。因悟得五分之一通弦与五分之三通弦交错为三角形，比例立法，以取五分之一之通弦，而弦切之数益密。梅氏环中黍尺，有以量代算之术，惟求倚平仪外周之两角，而缩於内半周之角未详。其法较易，因立新术，量取不倚外周之角度，而三角之量法乃全。堆垛有求平三角、立三角、尖堆积法，不及三乘方以上，又复推而广之，自三乘、四乘以上之尖堆，皆可由根知积。并及诸物递兼之法，以补古九章所未备。

　　又纠正梅文穆公句股知积术，及指识天元一，正、负开方之可知、不可知。其纠正句股知积术也，文穆赤水遗珍称：“有句股积及股弦和较求句股，向无其术，苦思力索，立法四条。”其门人丁维烈又造减纵翻积开三乘方法，文穆许之。莱谓：“句股形等积、等弦和，带纵立方形等基、等高阔和，皆有两形互易。如句二十，股二十一，弦二十九，句弦和四十九，句股积二百一十。若句十二，股三十五，弦三十七，句弦积亦四十九，句股积亦二百一十。设问者暗执一形，则对者交盲两数。梅、丁诸公法成而不可用，盖两句弦较，与一句弦和，恒为连比例之三率。其两句弦较，即首、末二率；两较减一和之馀，即中率；而句弦和必为三率亻并。遂创立有两积相等、两句弦和相等、求两句股形之法。以四倍句股积自乘，句弦和除之，为带纵长立方积。以句弦和为纵，开得数为两句弦较之中率，自乘为带纵平方积。又以中率与句弦和相减为长阔和，求得长阔两根为两句股较，用求两句股形各数。又同积之边，彼此可互，三次之乘，先后可通，故四倍句股积自乘，即两形之倍句相乘为底，两形之股相乘为高，即犹以中末乘首。中化为中率，再乘为立方三率，亻并为带纵。由是推得立方形两高数恒为首末二率，高阔和恒为三率，亻并数与等积、等弦和之两弦较及弦和丝毫无异。如高九阔十，高阔和十九，立方积九百。若高四阔十五，高阔和亦十九，立方积亦九百，其数莫不由两形相引而出。故其法即命积为带纵长立方积，以高阔和为所带之纵。用带纵长立方法开得本方根，为两形高数之中率。与高阔和相减，馀为带纵之平方长阔和。中率自乘，为带纵平方积。用带纵平方长阔和法开之，得长阔一根，为两形之两高数。两高与和相减，为两阔数。”

　　其指识正、负开方也，“元李冶传洞渊九容术，撰测圆海镜、益古演段，以明天元如积相消，其究必用正、负开方，互详於宋秦九韶数学九章。梅文穆公虽指天元一为西人借根方所由来，而正、负开方则未有阐明者。元和李秀才锐特为雠校，谓少广一章，得此始贯於一。好古之士，翕然相从。莱独推其有可知、有不可知。如测圆海镜边股第五问‘圜田求径二百四十步与五百七十六步共数’，而李仁卿专以二百四十为答。数学九章田域第二题‘尖田求积二百四十步与八百四十步共数’，而秦道古专以八百四十为答。乃自二乘方以下，缕析推之，得九十五条。凡几根数为带纵长阔较则可知，为带纵长阔和则不可知。又推得几真数少，几根数又多，几平方与一立方积等多少杂糅，和较莫定。立法以审之，以几平方数用几立方数除之，得数乘几根数，以较几真数。若少於真数，则以几平方为高阔较，是为可知。若多於真数，则或几平方为通分法，三母总数、几真数为三母维乘之共数，几根数为通分之共子，如二、如六、如十二。设真数一百四十四，少二百八，根数多二十，平方积与一立方积相等，则三数皆同，是为不可知。”

　　盖以一答为可知，不止一答为不可知。故李秀才锐跋其书，括为三例以证明之。谓：“隅实同名者不可知；隅实异名，而从廉正负不杂者可知；隅实异名，而从廉正负相杂，其从翻而与隅同名者可知，否则不可知。隅实异名，即带纵之长阔较也，较仅一答；隅实同名，即带纵之长阔和也，和则不止一答。”锐以隅实同名、异名，明一答与不止一答；莱以长阔、和较，明可知、不可知，其义一也。著有衡斋算学七册，考定通艺录磬氏倨句解一册。

　　陈杰，字静弇，乌程诸生。考取天文生，任钦天监博士，供职时宪科兼天文科，司测量。累官国子监算学助教。道光十九年，谢病归，卒于家。生平邃于算学，尤神明于比例之用。初著辑古算经细草一卷，后十馀年，又为之指画形象，成图解三卷；又博采训诂，考正其传写之舛譌，稽合各本之同异，别成音义一卷。