战争中的数字

       中国近代革命志士秋瑾曾经写下这样的诗句：“拼将十万头颅血，须把乾坤力挽回。”类似的还有陈毅元帅当年的“此去泉台招旧部，旌旗十万斩阎罗”。文科生会说这抒发了豪情，理科生会问：拼将十万头颅，就一定能把乾坤挽回么？——这里的“十万”当然不是一个确数，但提出了一个有趣的问题——人数的优势究竟在战争中占据什么样的地位？

       我们抛弃一切历史和时代的背景，来单纯地想象一场阵地战：假定红方与蓝方（这里的红方与蓝方没有特指，也无褒贬）都没有飞机大炮，只使用同样的步兵武器，掩体坚固程度等客观条件也差不多，且均在对方有效射程之内；红方不存在百发百中的神枪手，蓝方也没有没放过枪的新兵蛋子。总之一句话，就是双方半斤对八两。唯一不同的是兵员数量——红方有5,000人，蓝方4,000人，红方比蓝方整多出1,000人。双方开打了，枪林弹雨，如此你来我往地掐将下去，谁也不投降、不逃跑，最终结果会如何呢？由于红方有“微弱”的数量优势，蓝方终将以被全歼而惨败，这是比较合理的结果。我的问题是，此时“惨胜”的红方还能剩下多少人呢？对方既已全军尽没，损失当然是4,000人，红方是不是也一定付出了相同的代价呢？

       1914年，英国有个叫做兰切斯特（F. W. Lanchester）的，对类似的问题进行过研究。他本人其实是个汽车工程师，然而使他青史留名的成就却和汽车没什么关系，而是兰切斯特战斗方程。

       兰切斯特的理论基于这样一个假设：双方在任一瞬间的战斗损耗与对方此时的兵力成正比。如甲方兵力为x，乙方兵力为y，有如下微分方程①：

dx/dt=-ay,

dy/dt=-bx.

       t表示时间；a、b均为比例常数，它们与双方的武器效能及掩体等因素有关。简洁而优美的方程揭示了这样一个规律：交战一方的有效战斗力，正比于其战斗单位数（战斗单位，一般可以理解为参战兵员数）的平方与每一战斗单位平均战斗力（可以理解为单位时间内消灭对方兵员的能力）的乘积，即所谓兰切斯特平方律（还有一个类型就是兰切斯特线性律，它适用于远距离战斗，在此略过不提）。

       如甲乙双方初始兵力为x0、y0，战斗持续过程中任意瞬间的兵力由x（t）、y(t)表示（为简化计，假定双方实力相同，即a = b，可将“每一战斗单位平均战斗力”略去），则很容易推导出如下等式②：

x02 – y02  =  x(t)2 – y(t)2

       也就是说，只要战前有x0 > y0，战局的必然结果就是乙方被全歼，即y最终变为0，甲方剩余人数当然就是x = sqrt(x02-y02)（sqrt为取平方根）。

       由此，兰切斯特方程第一次以定量的方式论证了“集中优势兵力打歼灭战”的正确性。兰切斯特采用下述例子说明平方律符合集中优势兵力的作战原则：“如果甲方1,000人与乙方1,000人交战，双方单个战斗单位的平均战斗力相同，但甲方被乙方分割成各500人的两半。假定乙方先以1,000人攻击甲方的500人，则乙方将以损失134人的代价全歼甲方的一半；接着乙方以剩下的866人再全歼甲方的另一半，甲方在这两次战斗中将总共损失293人。”——我们的毛主席就是运用这一战法的大师。

       再回到开始的假设：红蓝双方实力不相上下，即a = b；由等式②可以计算出，红方在将蓝方赶尽杀绝之后，还能剩下sqrt(5,0002-4,0002) = 3,000人，而不是1,000人，红方的数量优势导致其损失远低于蓝方。而蓝方要想把红方放倒，就必须采用某种方法分割红方，以图在局部取得数量优势。

       当然，实际情况要比简化条件错综复杂得多，不谈硬件如何，仅仅是无形的士气就足以影响甚至决定战局。但是，大量的事实证明，兰切斯特方程具有很强的参考价值；尤其是一些局部战斗的结果，更可能与之契合。假如一个黑帮老大被别人抢了地盘，他恼羞成怒，打算和对手在一个空旷的废弃厂房或者仓库（电影里都这么干）里一决胜负。孙子曰：“夫未战而庙算胜者，得算多也；未战而庙算不胜者，得算少也”，所以 火拼之前，不妨先拿兰切斯特方程算一算。假如对方用枪榴弹你用半自动，武器效能是你的整4倍（此时的比例常数a、b不再相等了）；根据兰切斯特平方律，你带过去的小喽罗数量至少得对方的2倍，才可以抵消对方的火力优势——也就是说，十万头颅是否够用，得看双方的所有因素对比，不能只看人数。